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<!DOCTYPE html>

<title>Inverse Normalverteilung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Inverse Normalverteilung</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>inverse Normalverteilung</b> (auch <b>inverse Gauß-Verteilung</b> oder <b>Wald-Verteilung</b> genannt) ist eine kontinuierliche <a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a>. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der <a href="Brownsche_Molekularbewegung" class="mw-redirect" title="Brownsche Molekularbewegung">Brownschen Molekularbewegung</a> mit Drift <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c314fc908a83c555d34968d25e86c5ae0b76ef6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.389ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v>0}" loading="lazy"></span> und Streuungskoeffizient <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda >0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda >0}" loading="lazy"></span> ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a>0}" loading="lazy"></span> invers normalverteilt mit den Parametern <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e97266ca8d4d25673a1867c64b3f673ea157354.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.767ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)}" loading="lazy"></span>. Die inverse Normalverteilung gehört zur <a href="Exponentialfamilie" title="Exponentialfamilie">Exponentialfamilie</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Eine stetige Zufallsvariable <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> genügt der <i>inversen Normalverteilung</i> mit den

Parametern <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda >0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda >0}" loading="lazy"></span> (Ereignisrate) und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu >0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67319256f71b2ecddcb2a1f2a58bef0494135e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.663ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu >0}" loading="lazy"></span> (<a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a>), wenn sie die

<a href="Wahrscheinlichkeitsdichte" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsdichte">Wahrscheinlichkeitsdichte</a>

<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}">

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b181b47834a53423f3305beaea241aea27d4579.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:35.783ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}" loading="lazy"></span>

besitzt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktion</h3></div>

<p>Die <a href="Verteilungsfunktion" title="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktion</a> ist gegeben als

</p>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=IG(x;{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}};{\sqrt {\lambda }}):=1-\Phi ({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}})+e^{2\mu }\Phi (-{\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}}).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f234bf419e701932b523cc0264b0a3f3b166c627.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:75.47ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)=IG(x;{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}};{\sqrt {\lambda }}):=1-\Phi ({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}})+e^{2\mu }\Phi (-{\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}}).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erwartungswert">Erwartungswert</h3></div>

<p>Die inverse Normalverteilung besitzt den <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d03d2e2f7537318e05f5f6e67bad26da88916620.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.872ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Varianz">Varianz</h3></div>

<p>Die <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> ergibt sich analog zu

</p>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/928498708d815058310f0bc531eed14a7c7c5d98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.997ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Standardabweichung">Standardabweichung</h3></div>

<p>Daraus erhält man für die <a href="Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" class="mw-redirect" title="Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Standardabweichung</a>

</p>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e9bd1daa3322da6a9a1c11cda4d9dd4d035188.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:10.044ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Variationskoeffizient">Variationskoeffizient</h3></div>

<p>Aus <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> und <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> erhält man unmittelbar den <a href="Variationskoeffizient" title="Variationskoeffizient">Variationskoeffizienten</a>

</p>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7710934dd7e380ba40463c66fab2ce1a286ea008.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.075ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schiefe">Schiefe</h3></div>

<p>Die <a href="Schiefe_(Statistik)" title="Schiefe (Statistik)">Schiefe</a> ergibt sich zu

</p>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bc3d9021bcf041acdf1d7cd5c75670525654d8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.839ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wölbung_(Kurtosis)"><span id="W.C3.B6lbung_.28Kurtosis.29"></span>Wölbung (Kurtosis)</h3></div>

<p>Die <a href="W%C3%B6lbung_(Statistik)" title="Wölbung (Statistik)">Wölbung</a> ergibt sich zu

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85418ab9cd9d77c425a01dfbbb5a3612d3efe53c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.034ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die Exzess-Kurtosis ist

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b552b9d70dfefcfb51d148d4931fcf9bb0a25028.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.391ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Charakteristische_Funktion">Charakteristische Funktion</h3></div>

<p>Die <a href="Charakteristische_Funktion_(Stochastik)" title="Charakteristische Funktion (Stochastik)">charakteristische Funktion</a> hat die Form

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fc65f95183fbfde03f9b48f55d9de69254a6d2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.615ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Momenterzeugende_Funktion">Momenterzeugende Funktion</h3></div>

<p>Die <a href="Momenterzeugende_Funktion" title="Momenterzeugende Funktion">momenterzeugende Funktion</a> der inversen Normalverteilung ist

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d637db66ec80669d6bb743f6a211ea8a6603301.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.81ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reproduzierbarkeit">Reproduzierbarkeit</h3></div>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38ed92ce88f900210607bbb8f4d66e14d52d7a17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}" loading="lazy"></span> <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</a> mit inverser Normalverteilung mit den Parametern <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span>, dann ist die Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd738d3993468776f76a8ff1fc9441e645605995.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:9.084ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}" loading="lazy"></span> wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e963e41a80edb190d6667885e1e77256c58f507.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.75ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\lambda }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Laplacetransformation">Laplacetransformation</h3></div>

<p>Die <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplacetransformation</a> der inversen Normalverteilung ist

</p>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {E} [e^{-\lambda T}]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}{\text{IG}}({\text{d}}t;\zeta ;u)=\exp\{-u({\sqrt {2\lambda +\zeta ^{2}}}-\zeta )\}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6428ef46576bf5132a54508a4f9ba0d3a0e0914.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:58.983ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {E} [e^{-\lambda T}]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}{\text{IG}}({\text{d}}t;\zeta ;u)=\exp\{-u({\sqrt {2\lambda +\zeta ^{2}}}-\zeta )\}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diffusionsapproximationen">Diffusionsapproximationen</h3></div>

<p>In der <a href="Versicherungsmathematik" title="Versicherungsmathematik">Versicherungsmathematik</a> kann zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit die zeitliche Verteilung der Schäden mithilfe des <a href="Satz_von_Donsker" title="Satz von Donsker">Satzes von Donsker</a> durch eine <a href="Wienerprozess" title="Wienerprozess">Brownsche Bewegung</a> approximiert werden. Die dadurch approximierten Ruinwahrscheinlichkeiten basieren auf speziellen Parametrisierungen der inversen Normalverteilung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Hansjörg Asmussen, Søren Albrecher. Ruin Probabilities (Second Edition). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010, ISBN 978-981-320-361-7, Kapitel 5, S. 136–145.</li>

<li><a href="William_Feller" title="William Feller">William Feller</a>. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Volume II (Second Edition). New York, NY: Dover Publications, 1971, ISBN 978-0-471-25709-7, Kapitel VIII, S. 436–437, 463.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/InverseGaussianDistribution.html"><i>Inverse Gaussian Distribution</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.BoxenVerschmelzen{border-width:1px;border-style:solid;border-left-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-right-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-top-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-bottom-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;margin-top:1.5em;padding-top:2px}.mw-parser-output div.BoxenVerschmelzen div.NavFrame,.mw-parser-output div.BoxenVerschmelzen div.klappleiste{border:none;font-size:100%;margin:0;padding-top:0}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><div class="BoxenVerschmelzen">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output div.klappleiste{border:1px solid var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;box-sizing:border-box;margin-top:1.5em;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.klappleiste-bild{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.klappleiste-kopf{background:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);color:var(--color-base,#202122);text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output div.klappleiste.mw-collapsed .klappleiste-bild{display:none}.mw-parser-output div.klappleiste+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+link+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+link+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+style+div.klappleiste,.mw-parser-output div.klappleiste+style+link+div.klappleiste{margin-top:-1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .klappleiste-bild span[typeof="mw:File"]:not(.skin-invert-image) img{background-color:#c8ccd1}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="klappleiste-kopf">Diskrete univariate Verteilungen</div>

<p><b>Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:</b><br>

<a href="Benfordsches_Gesetz" title="Benfordsches Gesetz">Benford</a> |

<a href="Bernoulli-Verteilung" title="Bernoulli-Verteilung">Bernoulli</a> |

<a href="Beta-Binomialverteilung" title="Beta-Binomialverteilung">beta-binomial</a> |

<a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">binomial</a> |

<a href="Dirac-Verteilung" title="Dirac-Verteilung">Dirac</a> |

<a href="Diskrete_Gleichverteilung" title="Diskrete Gleichverteilung">diskret uniform</a> |

<a href="Empirische_Verteilung_(Wahrscheinlichkeitsverteilung)" title="Empirische Verteilung (Wahrscheinlichkeitsverteilung)">empirisch</a> |

<a href="Hypergeometrische_Verteilung" title="Hypergeometrische Verteilung">hypergeometrisch</a> |

kategorial |

<a href="Negative_hypergeometrische_Verteilung" title="Negative hypergeometrische Verteilung">negativ hypergeometrisch</a> |

<a href="Rademacherverteilung" title="Rademacherverteilung">Rademacher</a> |

<a href="Verallgemeinerte_Binomialverteilung" title="Verallgemeinerte Binomialverteilung">verallgemeinert binomial</a> |

<a href="Zipfsches_Gesetz" title="Zipfsches Gesetz">Zipf</a> |

Zipf-Mandelbrot |

<a href="Zweipunktverteilung" title="Zweipunktverteilung">Zweipunkt</a>

</p><p><b>Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:</b><br>

<a href="Boltzmann-Statistik" title="Boltzmann-Statistik">Boltzmann</a> |

Conway-Maxwell-Poisson |

discrete-Phase-Type |

erweitert negativ binomial |

Gauss-Kuzmin |

<a href="Gemischte_Poisson-Verteilung" title="Gemischte Poisson-Verteilung">gemischt Poisson</a> |

<a href="Geometrische_Verteilung" title="Geometrische Verteilung">geometrisch</a> |

<a href="Logarithmische_Verteilung" title="Logarithmische Verteilung">logarithmisch</a> |

<a href="Negative_Binomialverteilung" title="Negative Binomialverteilung">negativ binomial</a> |

parabolisch-fraktal |

<a href="Poisson-Verteilung" title="Poisson-Verteilung">Poisson</a> |

Skellam |

<a href="Verallgemeinerte_Poisson-Verteilung" title="Verallgemeinerte Poisson-Verteilung">verallgemeinert Poisson</a> |

Yule-Simon |

</p>

</div></div>

<div class="klappleiste-kopf">Kontinuierliche univariate Verteilungen</div>

<p><b>Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:</b><br>

<a href="Betaverteilung" class="mw-redirect" title="Betaverteilung">Beta</a> |

<a href="Cantor-Verteilung" title="Cantor-Verteilung">Cantor</a> |

Kumaraswamy |

raised Cosine |

<a href="Dreiecksverteilung" title="Dreiecksverteilung">Dreieck</a> |

<a href="Trapezverteilung" title="Trapezverteilung">Trapez</a> |

U-quadratisch |

<a href="Stetige_Gleichverteilung" title="Stetige Gleichverteilung">stetig uniform</a> |

Wigner-Halbkreis

</p><p><b>Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:</b><br>

<a href="Beta-prime-Verteilung" class="mw-redirect" title="Beta-prime-Verteilung">Beta prime</a> |

<a href="Bose-Einstein-Statistik" title="Bose-Einstein-Statistik">Bose-Einstein</a> |

Burr |

<a href="Chi-Verteilung" title="Chi-Verteilung">Chi</a> |

<a href="Chi-Quadrat-Verteilung" title="Chi-Quadrat-Verteilung">Chi-Quadrat</a> |

Coxian |

<a href="Erlang-Verteilung" title="Erlang-Verteilung">Erlang</a> |

<a href="Exponentialverteilung" title="Exponentialverteilung">Exponential</a> |

<a href="Extremwertverteilung" title="Extremwertverteilung">Extremwert</a> |

<a href="F-Verteilung" title="F-Verteilung">F</a> |

<a href="Fermi-Dirac-Statistik" title="Fermi-Dirac-Statistik">Fermi-Dirac</a> |

Folded normal |

<a href="Fr%C3%A9chet-Verteilung" title="Fréchet-Verteilung">Fréchet</a> |

<a href="Gammaverteilung" title="Gammaverteilung">Gamma</a> |

<a href="Gamma-Gamma-Verteilung" title="Gamma-Gamma-Verteilung">Gamma-Gamma</a> |

verallgemeinert invers Gauß |

halblogistisch |

halbnormal |

<a href="Hartman-Watson-Verteilung" title="Hartman-Watson-Verteilung">Hartman-Watson</a> |

<a href="Hotellings_T-Quadrat-Verteilung" class="mw-redirect" title="Hotellings T-Quadrat-Verteilung">Hotellings T-Quadrat</a> |

<a href="Hyper-exponentiale_Verteilung" class="mw-redirect" title="Hyper-exponentiale Verteilung">hyper-exponentiale</a> |

hypoexponential |

invers Chi-Quadrat |

scale-invers Chi-Quadrat |

<a class="mw-selflink selflink">Invers Normal</a> |

Invers Gamma |

<a href="Kolmogorow-Verteilung" title="Kolmogorow-Verteilung">Kolmogorow-Verteilung</a> |

<a href="L%C3%A9vy-Verteilung" title="Lévy-Verteilung">Lévy</a> |

<a href="Logarithmische_Normalverteilung" title="Logarithmische Normalverteilung">log-normal</a> |

log-logistisch |

<a href="Maxwell-Boltzmann-Verteilung" title="Maxwell-Boltzmann-Verteilung">Maxwell-Boltzmann</a> |

Maxwell-Speed |

Nakagami |

<a href="Nichtzentrierte_Chi-Quadrat-Verteilung" class="mw-redirect" title="Nichtzentrierte Chi-Quadrat-Verteilung">nichtzentriert Chi-Quadrat</a> |

<a href="Pareto-Verteilung" title="Pareto-Verteilung">Pareto</a> |

Phase-Type |

<a href="Rayleigh-Verteilung" title="Rayleigh-Verteilung">Rayleigh</a> |

relativistisch Breit-Wigner |

Rice |

<a href="Rosin-Rammler-Verteilung" class="mw-redirect" title="Rosin-Rammler-Verteilung">Rosin-Rammler</a> |

shifted Gompertz |

truncated normal |

Type-2-Gumbel |

<a href="Weibull-Verteilung" title="Weibull-Verteilung">Weibull</a> |

Wilks’ Lambda

</p><p><b>Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:</b><br>

<a href="Cauchy-Verteilung" title="Cauchy-Verteilung">Cauchy</a> |

<a href="Extremwertverteilung" title="Extremwertverteilung">Extremwert</a> |

exponential Power |

<a href="Fishers_z-Verteilung" class="mw-redirect" title="Fishers z-Verteilung">Fishers <i>z</i></a> |

<a href="Gumbel-Verteilung" title="Gumbel-Verteilung">Fisher-Tippett (Gumbel)</a> |

generalized hyperbolic |

Hyperbolic-secant |

<a href="Landauverteilung" title="Landauverteilung">Landau</a> |

<a href="Laplace-Verteilung" title="Laplace-Verteilung">Laplace</a> |

<a href="Alpha-stabile_Verteilungen" title="Alpha-stabile Verteilungen">alpha-stabil</a> |

<a href="Logistische_Verteilung" title="Logistische Verteilung">logistisch</a> |

<a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normal (Gauß)</a> |

normal-invers Gauß’sch |

Skew-normal |

<a href="Studentsche_t-Verteilung" title="Studentsche t-Verteilung">Studentsche t</a> |

Type-1-Gumbel |

Variance-Gamma |

<a href="Voigt-Profil" title="Voigt-Profil">Voigt</a>

</p>

</div></div>

<div class="klappleiste-kopf">Multivariate Verteilungen</div>

<p><b>Diskrete multivariate Verteilungen:</b><br>

Dirichlet compound multinomial |

Ewens |

gemischt Multinomial |

<a href="Multinomialverteilung" title="Multinomialverteilung">multinomial</a> |

<a href="Multivariate_hypergeometrische_Verteilung" class="mw-redirect" title="Multivariate hypergeometrische Verteilung">multivariat hypergeometrisch</a> |

multivariat Poisson |

negativmultinomial |

Pólya/Eggenberger |

<a href="Polyhypergeometrische_Verteilung" class="mw-redirect" title="Polyhypergeometrische Verteilung">polyhypergeometrisch</a>

</p><p><b>Kontinuierliche multivariate Verteilungen:</b><br>

<a href="Dirichlet-Verteilung" title="Dirichlet-Verteilung">Dirichlet</a> |

GEM |

generalized Dirichlet |

<a href="Mehrdimensionale_Normalverteilung" title="Mehrdimensionale Normalverteilung">multivariat normal</a> |

multivariat Student |

normalskaliert invers Gamma |

Normal-Gamma |

Poisson-Dirichlet

</p><p><b>Multivariate Matrixverteilungen:</b><br>

<a href="Gleichverteilung_auf_der_Stiefel-Mannigfaltigkeit" title="Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit">Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit</a> |

Invers Wishart |

Matrix Beta |

Matrix Gamma |

Matrix invers Beta |

Matrix invers Gamma |

Matrix Normal |

Matrix Student-t |

<a href="Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung" title="Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung">Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung</a> |

Normal-invers-Wishart |

Normal-Wishart |

<a href="Wishart-Verteilung" title="Wishart-Verteilung">Wishart</a>

</p>

</div></div>

</div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-06-09" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Inverse_Normalverteilung&oldid=256830875">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>